命題
すべての有限体は可換である。

証明
K を有限体とし、Z をその中心とする。
即ち、Z = {a ∈ K; 全ての x ∈ K に対して ax = xa}

K の Z 上の次数を n とする。
n ＞ 1 として矛盾を導けばよい。
Z の元の個数を q とする。

x ∈ K^* のとき x の正規化部分群(>>402)を N(x) とする。
N(x) ∪ {0} は Z を含む K の部分体である。
よって、|N(x) ∪ {0}| = q^δ(x) である。
ここで δ(x) は n の約数である。
δ(x) = n となるのは x ∈ Z のときに限る。

K^* の類等式(>>402)は、
q^n - 1 = q - 1 + Σ(q^n - 1)/(q^δ(x) - 1) となる。
ここで、Σ は K^* の Z に含まれる元以外の共役類の代表全体を動く

φ_n(X) を n 次の円分多項式(>>403)とする。
上の等式において、δ(x) ＜ n であるから
(q^n - 1)/(q^δ(x) - 1) は有理整数 φ_n(q) で割り切れる。
よって、q - 1 は φ_n(q) で割り切れる。

一方、φ_n(q) = Π(q - ζ) であるが、複素平面に図を書けば明らかなように
|q - ζ| ＞ |q - 1| である。
よって、|φ_n(q)| = Π|q - ζ| ＞ |q - 1|^m ＞ |q - 1| である。
ここで m は原始 n 乗根の個数である。
これは矛盾である。
証明終