n ＞ 0 を整数とする。
複素数体における 1 の原始 n 乗根全体を根とする多項式
φ_n(X) = Π(X - ζ) を考える。

明らかに、X^n - 1 = Πφ_d(X) である。
ここで積は n の約数 d ＞ 0 全体を渡るものとする。

よって、φ_n = (X^n - 1)/Πφ_d(X) である。
ここで、右辺の Π は n の n 以外の約数 d ＞ 0 全体を渡るものとする。
これから n に関する帰納法より、φ_n は有理整係数のモニック多項式である。
φ_n を n 次の円分多項式と言う。