G を群とする。
a ∈ G に対して G から G への写像 τ(a) を τ(a)(x) = axa^(-1) で
定義する。
τ(a) は明らかに全単射である。
τ(a)(xy) = axya^(-1) = axa^(-1)aya^(-1) = τ(a)(x)τ(a)(y) であるから
τ(a) は G の自己同型である。
τ(a) の形の G の自己同型を内部自己同型と言う。

a と b を G の元とすると、τ(ab) = τ(a)τ(b) である。
よって、τ は G から G の自己同型群 Aut(G) への準同型である。

τ により G は G に左から作用し、G は G-集合(過去スレ004の388)となる。
よって、 G は G-軌道により類別(過去スレ004の390)される。
各軌道を G の共役類と言う。
x ∈ G のとき x が属す共役類 C(x) は {axa^(-1); a ∈ G } である。

N(x) = {a ∈ G; axa^(-1) = x} と書いて x の正規化部分群という。

過去スレ004の393より、
G の N(x) による左剰余類 aN(x) に axa^(-1) を対応させることにより、
G の N(x) による左剰余類の集合 G/N(x) から C(x) への全単射が
得られる。

特に G が有限群のとき、|C(x)| = |G|/|N(x)| である。
ここで A が有限集合のとき |A| は A の元の個数を表す。

G の共役類の全体を C_1, ..., C_r とする。
|G| = |C_1| + ... + |C_r| である。
|C_i| = 1 となるのは C_i の元が G の中心 Z に属すときに限る。
よって、|G| = |Z| + Σ|C_i| である。
ここで Σ は |C_i| ＞ 1 となる共役類全体を動く。
|G| = |Z| + Σ|C_i| を G の類等式と言う。