命題
K を非アルキメデス的局所体(>>363)とする。
R を K の最大コンパクト部分環(>>366)とし、
P をその唯一の極大両側イデアル(>>364)とする。

このとき、
P = Rπ = πR となる P の元 π があり、
mod(K^*) = {mod(π)^n; n ∈ Z} である。
ここで、 K^* は K の 0 でない元全体であり、Z は有理整数環である。

証明
P は K の加法群の開部分群であるから閉集合である。
R はコンパクトであるから P もコンパクトである。
>>82より mod は連続であるから、mod は P において最大値 M をとる。
π ∈ P に対して mod(π) = M とする。
x ∈ P, x ≠ 0 のとき、0 ＜ mod(x) ≦ mod(π) ＜ 1 であるから
mod(x) ≦ mod(π)^n となる最大の整数 n ＞ 0 がある。
mod(xπ^(-n)) ≦ 1 であるが mod(xπ^(-n)) ＜ 1 とすると
xπ^(-n) ∈ P だから mod(xπ^(-n)) ≦ mod(π) となり、
mod(x) ≦ mod(π)^(n+1) となる、
これは n の最大性に反するから mod(xπ^(-n)) = 1 である。
すなわち mod(x) = mod(π)^n である。
mod(xπ^(-n)) = 1 だから x ∈ Rπ^n である。
よって、 P ⊂ Rπ、即ち P = Rπ である。
同様に P= πR である。

x ∈ R - P のときは mod(x) = 1 である。
x ∈ K - R のときは mod(x) ＞ 1 であるから mod(1/x) ＜ 1 である。
mod(1/x) = mod(π)^n とすれば、mod(x) = mod(π)^(-n) である。
よって、mod(K^*) = {mod(π)^n; n ∈ Z } である。
証明終