命題
K を可換な局所コンパクト体とする。
M(n, K) を K 上の (n, n) 行列全体とする。
>>290より、M(n, K) は局所コンパクトな位相環である。
GL(n, K) (>>151) は M(n, K) の開集合であり、
M(n, K) の部分空間としての位相により局所コンパクト群になる。

証明
A ∈ M(n, K) に det(A) を対応させる写像は明らかに連続である。
よって、GL(n, K) = {A ∈ M(n, K); det(A) ≠ 0} は
M(n, K) の開集合である。
よって、GL(n, K) は局所コンパクトである。

GL(n, K) における２元の積は M(n, K) での積と同じであるから連続である。

A ∈ GL(n, K) のとき A^(-1) の (i, j) 成分を b_(i, j) とすると
b_(i, j) = T(i, j)/det(A) と書ける。
ここで T(i, j) は A の成分の多項式である。
T(i, j) および det(A) は M(n, K) 上連続であるから
A ∈ GL(n, K) に A^(-1) を対応させる写像も連続である。
よって、GL(n, K) は局所コンパクト群である。
証明終