命題
K を必ずしも可換とは限らない局所コンパクト体とする。
K の乗法群 K^* は K の開集合であるから局所コンパクト群である。
μ を K の Haar 測度とする。
μ の K^* への制限(過去スレ011の63)を ν とする。
λ = (1/mod)ν は K^* の左 Haar 測度である。
ここで、(1/mod)ν は、連続関数 1/mod と ν の積(過去スレ009の713)である。

証明
f ∈ K(K^*, C) (過去スレ009の662)

x ∈ K^* のとき g(x) = f(x)/mod(x)
x = 0 のとき g(x) = 0 と定義する。
Supp(f) ⊂ K^* だから g は K 上で連続である。
ν の定義(過去スレ011の63)から、
∫ g(x) dμ(x) = ∫ g(x) dν(x)

a ∈ K^* のとき、mod の定義(>>37)から、
∫ g(ax) dμ(x) = (1/mod(a))∫ g(x) dμ(x)
よって、
∫ g(ax) dν(x) = (1/mod(a))∫ g(x) dν(x)

この左辺は、(1/mod(a))∫ f(ax) d((1/mod)ν)(x) に等しい。
この右辺は、(1/mod(a))∫ f(x) d((1/mod)ν)(x) に等しい。
よって、
∫ f(ax) d((1/mod)ν)(x) = ∫ f(x) d((1/mod)ν)(x)

よって、(1/mod)ν は K^* の左 Haar 測度である。
証明終