命題
G と G' を局所コンパクト群とし、u: G → G' を位相群としての同型とする。
ψ' を G' の自己同型とする。
ψ = u^(-1)ψ'u とおくと、ψ は G の自己同型である。
このとき、mod(ψ) = mod(ψ') である。

証明
μ を G の左 Haar 測度とする。
μ' を u による μ の 像(過去スレ011の765)とする。

f ∈ K(G', C) (過去スレ009の662)、s ∈ G のとき、
∫ f(u(s)u(x)) dμ(x) = ∫ f(u(sx)) dμ(x) = ∫ f(u(x)) dμ(x)
よって、μ' は G' の左 Haar 測度(過去スレ012の351)である。

∫ f(ψ'^(-1)(x)) dμ'(x) = mod(ψ')∫ f(x) dμ'(x)
= mod(ψ')∫ f(u(x)) dμ(x)

一方、
∫ f(ψ'^(-1)(x)) dμ'(x) = ∫ f(ψ'^(-1)(u(x))) dμ(x)
= ∫ f(ψ'^(-1)(u(x))) dμ(x) = ∫ f(u(ψ^(-1)(x))) dμ(x)
= mod(ψ) ∫ f(u(x)) dμ(x)

よって、mod(ψ') = mod(ψ)
証明終