命題
G を局所コンパクト群とし、μ を G 上の左 Haar 測度とする。
ψ_1 と ψ_2 を G の自己同型とする。
mod(ψ_1ψ_2) = mod(ψ_1)mod(ψ_2) である。
ここで、mod は、過去スレ012の533で定義したものである。

証明
μ を G の左 Haar 測度とする。
V を G の単位元のコンパクト近傍とする。
0 ＜ μ(V) ＜ +∞ である。
過去スレ012の536より、
μ(ψ_1ψ_2(V)) = mod(ψ_1ψ_2)μ(V)
μ(ψ_2(V)) = mod(ψ_2)μ(V)
μ(ψ_1(ψ_2(V))) = mod(ψ_1)μ(ψ_2(V))
よって、mod(ψ_1ψ_2)μ(V) = mod(ψ_1)μ(ψ_2(V))
よって、mod(ψ_1ψ_2) = mod(ψ_1)mod(ψ_2) である。
証明終