命題
K を必ずしも可換とは限らない非離散局所コンパクト体とする。
>>167の 1), 2), 3) の写像をそれぞれ u_1, u_2, u_3 とおく。
このとき、mod(u_1) = mod(u_3) = 1, mod(u_2) = a である。
ここで、mod は、過去スレ012の533で定義したものである。

証明
f を K(K^n, C) (過去スレ009の662)の元とし、μ を K の Haar 測度とする。
u_1 については、i = 1, j = 2 と仮定して証明すればよい。
Fubiniの定理(過去スレ011の753)より、
∫ f(x_2, x_1, x_3, ..., x_n) dμ(x_1)dμ(x_2)dμ(x_3)...dμ(x_n)
= ∫dμ(x_3)...dμ(x_n) ∫ f(x_2, x_1, x_3, ..., x_n) dμ(x_1)dμ(x_2)
= ∫dμ(x_3)...dμ(x_n) ∫dμ(x_2) ∫ f(x_2, x_1, x_3, ..., x_n) dμ(x_1)
= ∫dμ(x_3)...dμ(x_n) ∫dμ(x_1) ∫ f(x_1, x_2, x_3, ..., x_n) dμ(x_2)
= ∫dμ(x_3)...dμ(x_n) ∫ f(x_1, x_2, x_3, ..., x_n) dμ(x_1)dμ(x_2)
= ∫ f(x_1, x_2, x_3, ..., x_n) dμ(x_1)dμ(x_2)dμ(x_3)...dμ(x_n)
よって、mod(u_1) = 1

u_2 については、Fubiniの定理(過去スレ011の753)より、
∫ f(x_1 + λ(x_2), x_2, ..., x_n) dμ(x_1)dμ(x_2)dμ(x_3)...dμ(x_n)
= ∫dμ(x_2)dμ(x_3)...dμ(x_n) ∫ f(x_1 + λ(x_2), x_2, ..., x_n) dμ(x_1)
= ∫dμ(x_2)dμ(x_3)...dμ(x_n) ∫ f(x_1, x_2, ..., x_n) dμ(x_1)
= ∫ f(x_1, x_2, ..., x_n) dμ(x_1)dμ(x_2)...dμ(x_n)
よって、mod(u_2) = 1

u_3 については、Fubiniの定理(過去スレ011の753)より、
∫ f(a(x_1), x_2, ..., x_n) dμ(x_1)dμ(x_2)...dμ(x_n)
= ∫dμ(x_2)...dμ(x_n) ∫ f(a(x_1), x_2, ..., x_n) dμ(x_1)
= (1/mod(a)) ∫dμ(x_2)...dμ(x_n) ∫ f(x_1, x_2, ..., x_n) dμ(x_1)
= (1/mod(a)) ∫ f(x_1, x_2, ..., x_n) dμ(x_1)dμ(x_2)...dμ(x_n)
よって、mod(u_3) = mod(a)
証明終