ハミルトンの原理について質問

ある系のラグラジアンを
L（ｑ．dｑ/dt．t）と表示します。
関数Lについて
S＝∫(t_1→t_2)L（ｑ．dｑ/dt．t）dtが最小になるように運動するというのが原理らしいんだが、これの直感的な意味を教えて

あと、Sが最小になるという条件からラグランジュ方程式を導く証明についてなんだけど、Sがｑ＝ｑ(t)で最小になると仮定すると、ｑをｑ(t)＋δ(t)…①
とするとSが増加することを意味する。このあとに、t＝t_1、t＝t_2では、①はｑ(t_1)、ｑ(t_2)と一致するとあるんだけど理由がわからない…教えて…


kingさんお願いします