大相撲の勝利数の分布を求めてみたいです。

実際の大相撲とは異なり、以下の条件を仮定します。

１　すべての力士は勝率 1/2を持つ。
２　毎日の取り組みはランダムな組み合わせで行われる。
３　２の補足として、一度対戦した相手と何度戦ってもよい。


勝利数xの分布はどのようになるでしょうか？
プログラムでシミュレートしてみると、力士の人数をm人とするとき、
mが大きければ勝利数xの確率分布は二項分布
15 C x / 2^15
となることがわかりました。

これを計算により導きたいです。
ヒントも大歓迎です。
一緒に考えてもらえませんか。