ちょっと方向を変えて考えてみました
x≧3のとき、x/(x^2-2x+1)≧0なので正の定数kを用いて
x/(x^2-2x+1)の最大値を1/kと置くと
x/(x^2-2x+1)≧1/k
⇔x^2-2x+1≦kx
だから、y=x^2-2x+1とy=kxのグラフを考えて
x≧3のときにy=kxがy=x^2-2x+1より上側にいて
尚且つ接しているようなxとkを考えればよい

それはグラフよりx=3のときでk=4/3(以外に無い)
よって最大値は3/4

としてみたのですがこれは議論としてどうでしょうか?
ちょっと言いたいことが伝えにくいのてすが・・・・