>>685
偶奇性で解けそうだ。間違ってたら指摘よろ。

・x,y,zがすべて偶数である場合、各項は（偶数）＾偶数乗 の形になるから、
各項の平方根もまた自然数になるはずであり、これらも互いに等しくなる
はずである。しかし、α^2=β^2 かつ α≠β である自然数α、βは
存在しないからこれはありえない。

従って、x、y,、ｚには最低１つの奇数を含む。
x,y,zがすべて奇数であった場合、x=2x'+1、y=2y'+1、z=2ｚ’+1と書くと、
(x+y)^z=2^z・(x'+y'+1)^z これは素因数として2＾ｚ、または2＾2ｚを含む。
他の項についても同様に考え、さらにx<ｙ<zであることを考えると、
2x=ｙが成り立たなければならないが、これはxが奇数であるという仮定に反する。
従ってこれはありえない。

x,y,zに偶数と奇数が混じっていた場合、ｘ+ｙ、y+z、ｚ+xの中に奇数と偶数を
足したものが混在することになり、それらの累乗が等しいことはありえない。

従って偶奇性においてすべての場合がありえないので、
仮定を満たす自然数の組x,y,zは存在しない。