こんにちは。 物理板の「高校生にテンソルを教えるスレ」から来ました。
向こうの議論はだいたい収束に向かっていると思うのですが、なぜか
今までの経緯を無視して「テンソルは立体行列」と強硬に主張する人がいて困っています。

で、数学の人にお尋ねしたいのですが、物理の文脈を離れて数学屋の立場から見た場合、
「立体行列」というものは「数を3次元に配置したもの」以上の意味を持ち得る概念でしょうか？
もうちょっと具体的に言うと（だいぶ長くなってしまいますが）、
テンソルに対して定義されている演算は和・スカラー倍・テンソル積・内積（縮約を含む）であるのに対し、
行列に対してはもっと別種の演算というか数学的構造が定義されているように思っていて、
たとえば正方行列では逆行列という概念が定義可能ですし、一般化逆行列というものもありますが、
逆テンソルというものは聞いたことがありません（私が知らないだけかもしれませんが）。
何が言いたいかというと、1+1階のテンソルは確かに行列と同一視できますが、
いちおう両者は概念的に別ものだよね？ということです。
もしそうだとすると、「立体行列」と呼ぶべきものは3階テンソルのことではなく、
3階テンソルに「立体行列」の名にふさわしい何らかの演算が定義されたものではないかと思うのですが、
そのようなものは知られているのでしょうか？
（3階の単位テンソルなどというものが存在するとは思えないのですが…）