k>1/e^2なる定数とする
C[1];y=logx C[2]:y=e^(kx)について
2曲線C1.C2の両方に接する直線の本数を求めよ

という問題を教えてください。
まずT(t.logt), S(s.e^ks)上の接線の方程式を求め
これらが一致するので
1/t=ke^(ks)かつlogt-1=e^(ks)-kse^(ks)
これらをみたす実数s.tの組を求めればそれが接線の本数と
一致している"かもしれない"ってことで
tを消去してsの方程式
f(s)=e^ks-kse^ks+ks+logk+1=0
の解の個数を調べたところ異なる実数解が2つとでました
だからtの個数も2つ存在するということがわかったのですが
最後の詰めの部分で、異なるs.tの値に対して
接線の式が同じ式になることは無いのかを議論する必要はないのでしょうか?
問題集の解答にはf(s)=0は相異なる2解を持つ
よって2本で終わりになってます。

また実際に異なるs.tの値に対して接線の式が同じ式にならないことを議論するとしたら
どういう風にもって行けばいいでしょうか?
C[2]の接線がy={ke^(ks)}x-(1-k)e^(ks)なので、f(s)=0の2解をα、βとして
ke^(kα):ke^(kβ)≠-(1-k)e^(kα):-(1-k)e^(kβ)
であることを言えばいいのでしょうか? それとももっと簡単に議論することが出来ますか