>>341
別なアプローチとして
a+b ≧ 2√(ab)…(1)
b+c ≧ 2√(bc)…(2)
c+a ≧ 2√(ca)…(3)
これらを既知として（以下、a,b,cが正の数なので、不等式の性質上、不等号の向きは変わらない）

(1)の両辺に (b+c) を掛ける
(a+b)(b+c) ≧ (b+c) 2√(ab)

(2)の両辺に 2√(ab) を掛ける
(b+c) 2√(ab) ≧ 2√(bc) 2√(ab) = 4√(a*b^2*c)

よって
(a+b)(b+c) ≧ 4√(a*b^2*c)…(4)

次に(4)の両辺に (c+a) を掛ける
(a+b)(b+c)(c+a) ≧ (c+a) 4√(a*b^2*c)

(3)の両辺に 4√(a*b^2*c) を掛ける
(c+a) 4√(a*b^2*c) ≧ 2√(ca) 4√(a*b^2*c) = 8√(a^2*b^2*c^2) = 8abc

よって
(a+b)(b+c)(c+a) ≧ 8abc
∴ (a+b)(b+c)(c+a) / abc　≧ 8

だから {(a+b)(b+c)(c+a)}/abc の最小値は 8