命題
E を完備 Riesz 空間(>>7)とする。
x を E の任意の元とする。
x と無縁な元全体 B は E の帯(>>8)である。

証明
y と z を B の２元とする。
>>6より、
inf(|x|, |y| + |z|) ≦ inf(|x|, |y|) + inf(|x|, |z|) である。

よって、inf(|x|, |y| + |z|) = 0 である。
過去スレ009の799より、|y + z| ≦ |y| + |z| であるから
inf(|x|, |y + z|) ≦ inf(|x|, |y| + |z|) である。
よって、y + z ∈ B である。

λを任意の実数とする。|λ| ≦ n となる整数 n がある。
|λy| ≦ n|y| となる。

inf(|x|, n|y|) ≦ n(inf(|x|, |y|)) であるから、
inf(|x|, n|y|) = 0 である。
よって、inf(|x|, |λy|) = 0 である。
即ち、λy ∈ B である。
以上から B は E の部分空間である。

B が >>8の条件 1) を満たすことは明らかである。
B が >>8の条件 2) を満たすことは>>4より明らかである。
証明終