補題
X 局所コンパクト空間とし、μを X 上の正値Radon測度とする。
p を 1 ≦ p ＜ +∞ を満たす実数とする。
q を p の共役指数(過去スレ010の578)とする。
θ を L^p(X, R, μ) 上の連続線形形式とする。

θ の K(X, R) への制限 ν は実Radon測度(過去スレ009の728)となり、
任意の f ∈ K+(X, R) に対して |ν|(f) ≦ N(θ) N_p(f) となる。
ここで、N(θ) は θ のノルム(過去スレ006の690)である。

証明
任意の f ∈ L^p(X, R, μ) に対して、|θ(f)| ≦ N(θ) N_p(f) である。
X の任意のコンパクト集合 K に対して、f ∈ K(X, K, R) のとき、
N_p(f)^p ≦ ∫ |f|^p dμ ≦ μ(K) (|f|_b)^p である。
ここで、|f|_b = { |f(x)| ; x ∈ X }
よって、N_p(f) ≦ μ(K)^(1/p) |f|_b
よって、|ν(f)| ≦ N(θ) μ(K)^(1/p) |f|_b
即ち、ν は K(X, K, R) の一様収束の位相に関して連続である。
よって、ν は実Radon測度である。

f を K+(X, R) の元とする。
|g| ≦ f となる g ∈ K(X, R) に対して、
|ν(g)| ≦ N(θ) N_p(g) ≦ N(θ) N_p(f)
よって、|ν|(f) ≦ N(θ) N_p(f)
証明終