命題
X 局所コンパクト空間とし、μを X 上の正値Radon測度とする。
f を L^1(X, C, μ) (過去スレ008の299)の元とする。

このとき、N_1(f) = sup {|∫ fh dμ| ; h ∈ K(X, C), N_∞(h) ≦ 1 } である。
ここで、N_1(f) = ∫ |f| dμ であり、N_∞(h) = sup{|h(x)| ; x ∈ X} である。

証明
N_1(f) ≧ sup {|∫ fg dμ| ; g ∈ K(X, C), N_∞(g) ≦ 1 }
は明らかである。
ε ＞ 0 を任意の正数とする。
N_1(f - g) ＜ ε となる g ∈ K(X, C) がある。

>>71より、h ∈ K(X, C) で、|h| ≦ 1 であり、
|N_1(g) - ∫ gh dμ| ＜ ε となるものが存在する。

|N_1(f) - ∫ fh dμ|
≦ |N_1(f) - N_1(g)| + |N_1(g) - ∫ gh dμ| + |∫ gh dμ - ∫ fh dμ|
＜ ε + ε + ∫ |f - g| |h| dμ ≦ 3ε
証明終