>>550の続き

Q の絶対値 |x|_p は自明(過去スレ006の422)でないから、
過去スレ006の425より、 Q 従って Q_p の位相は離散的ではない。

|x|_p は明らかに Q の離散的絶対値(過去スレ006の483)である。
過去スレ006の547より、|x|_p は Q_p の離散的絶対値である。

x ∈ Q_p のとき、ν(x) = -log_p |x|_p とする。
ここで、log_p は p を底とする対数である。
即ち、x ≠ 0 で |x|_p = p^(-n) のとき、ν(x) = n
x = 0 のとき、ν(x) = +∞ である。

ν は、 Q_p の実付値(過去スレ006の496)であり、
しかも離散付値(過去スレ003の546)である。

ν の付値環(過去スレ006の548)を Z_p と書く。
即ち、Z_p = {x ∈ Q_p; ν(x) ≧ 0} = {x ∈ Q_p; |x|_p ≦ 1}
である。
Z_p は局所環で pZ_p は極大イデアルである。
pZ_p = {x ∈ Q_p; ν(x) ＞ 0} = {x ∈ Q_p; |x|_p ＜ 1}
である。

x ∈ Z_p のとき、|x - y|_p ＜ 1 となる y ∈ Q がある。
|y|_p = |y - x + x|_p ≦ sup(|x - y|_p, |x|_p) ≦ 1
よって、y ∈ Q ∩ Z_p であり、Z_p = (Q ∩ Z_p) + pZ_p である。
A = (Q ∩ Z_p) とおく。
Z_p/pZ_p = A/(Q ∩ pZ_p) である。

A は有理整数環 Z の素イデアル pZ による局所化であり、
Q ∩ pZ_p はその極大イデアルである。
よって、Z_p/pZ_p は標数 p の素体である。