これからトリビアルでない局所コンパクト体(>>540)を構成する。

p を素数とする。x ≠ 0 を有理数とする。
x = p^n(a/b) と一意に書ける。
ここで、n は有理整数であり、b ＞ 0 で a と b は互いに素で
a と b は p で割り切れない。

|x|_p = p^(-n) とおく。
|0|_p = 0 とする。

過去スレ006の463より、|x|_p は有理数体 Q の非アルキメデス的絶対値
(過去スレ006の448)である。
過去スレ006の421より、Q は 距離 |x - y|_p により位相体(過去スレ006の190)
となる。
過去スレ006の369より、Q の位相環としての完備化 Q^ が存在する。
過去スレ006の475より、Q^ は体であり、|x|_p は Q^ に連続延長され
Q^ の絶対値となる。この絶対値をやはり、|x|_p と書く。
Q^ の位相は |x|_p で定義される。
Q^ を Q_p と書き、p進体と言う。