命題
G を局所コンパクト群とし、μ を G 上の左 Haar 測度とする。
Δ を G のモジュール(>>477)とする。
このとき、μ^ = (1/Δ)μ である。
ここで、μ^ は>>383で定義したもの。

証明
>>523より、(1/Δ)μ は右 Haar 測度である。
>>384より、μ^ も右 Haar 測度である。
よって、>>389より、μ^ = a(1/Δ)μ となる定数 a ＞ 0 がある。
μ = a((1/Δ)μ)^ である。

f ∈ K(G, C) に対して、
∫ f d((1/Δ)μ)^ = ∫ f(x^(-1)) d(1/Δ)μ(x)
= ∫ f(x^(-1)) Δ(x^(-1)) dμ(x) = ∫ f dΔμ^

よって、((1/Δ)μ)^ = Δμ^
よって、μ = a((1/Δ)μ)^ = aΔμ^ = a^2μ
よって、a = 1 である。
証明終