命題
X を局所コンパクト空間とする。
X 上の実Radon測度(過去スレ009の728)全体を M(X, R) とする。
>>24より M(X, R) は完備 Riesz 空間(>>7)である。
μ を X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)とする。
μ で生成される M(X, R) の帯(>>12)を B とする。
X 上の実Radon測度 ν が B に属すためには
ν が 基底μの実Radon測度(>>30)であることが必要十分である。

証明
ν が B に属すとする。
このとき、sup(ν, 0) と sup(-ν, 0) も B に属す。
>>42より sup(ν, 0) = gμ, sup(-ν, 0) = hμ となる
局所μ-可積分な正値関数 g と h が存在する。
ν = sup(ν, 0) - sup(-ν, 0) = (g - h)μ となる

逆に ν = gμ となる局所μ-可積分な実数値関数 g がある。
>>29より、ν = sup(gμ, 0) - sup(-gμ, 0) = sup(g, 0)μ - sup(-g, 0)μ
>>42より、ν は B に属す。
証明終