命題
G を局所コンパクト群とし、μ を G の左 Haar 測度とする。
μ(G) ＜ +∞ なら G はコンパクトである。

証明
V を G の単位元のコンパクト近傍とする。
x_1, ..., x_n を G の元で x_1V, ..., x_nV は
どの二つも互いに交わらないとする。

μ(x_1V ∪ ... ∪ x_nV) = μ(x_1V) + ... + μ(x_nV)
= nμ(V) ≦ μ(G) ＜ +∞

よって、n ≦ μ(V)/μ(G)

n が最大になるように x_1, ..., x_n を取ったとする。
このとき、G の任意の元 x に対して xV ∩ x_iV ≠ φ となる i がある。
x ∈ x_iVV^(-1) であるから、G は有限個のコンパクト集合
x_iVV^(-1), 1 ≦ i ≦ n で覆われる。
よって、G はコンパクトである。
証明終