命題
G を局所コンパクト群とし、μ を左 Harr 測度とする。
s ∈ G のとき、δ(s) (>>468) は G の位相同型である。
このとき、δ(s)μ (>>471) は左 Harr 測度である。

証明
明らかに δ(s)μ は正値で 0 でない。

s と t を G の元とする。任意の x ∈ G に対して
γ(s)δ(t)x = sxt^(-1) = δ(t)γ(s)x である。
ここで、γ(s) は>>406で定義したもの。
よって、γ(s)δ(t) = δ(t)γ(s) である。

よって、f ∈ K(G, R) のとき、
(γ(s)δ(s))μ = (δ(s)γ(s))μ である。
この右辺は >>470 より、δ(s)(γ(s)μ) である。
μ は左不変だから δ(s)(γ(s)μ) = δ(s)μ である。
よって、(γ(s)δ(s))μ = δ(s)μ である。
この左辺は、>>470 より、γ(s)(δ(s)μ) である。
よって、δ(s)μ は左不変である。
証明終