命題
G を局所コンパクト群とし、
局所コンパクト空間 X に左から連続作用するとする。
θ X 上の複素Radon測度とする。
f を K(X, C) の元とする。
任意の s ∈ G に対して、g(s) = ∫ f(sx) dθ(x) は
s の関数として連続である。

証明
K = Supp(f) とおく。
a を G の任意の元とする。
V を G の単位元 e のコンパクトな近傍とする。
V^(-1)a^(-1)K = L とおく。
L はコンパクトである。

>>455より、任意の ε ＞ 0 に対して e の近傍 U があり、
s ∈ aU で、x ∈ L のとき、
|f(sx) - f(ax)| ＜ ε となる。

s ∈ aV のとき、sx ∈ K であるためには x ∈ L が必要十分である。
よって、s ∈ aV のとき、
∫ f(sx) dθ(x) = ∫[L] f(sx) dθ(x) である。
よって、s ∈ a(U ∩ V) のとき、
|g(s) - g(a)| ≦ ∫[L] |f(sx) - f(ax)| d|θ|(x) ≦ ε|θ|(L)
よって g は a で連続である。
証明終