補題
X を位相空間、Y を一様空間とする。
C(X, Y) におけるコンパクト収束の一様構造(過去スレ007の168)で
定まる位相は、>>423で定義した位相と一致する。

証明
C(X, Y) におけるコンパクト収束の一様構造で定まる位相を Ψ とし、
C(X, Y) における >>423で定義した位相を Φ とおく。

まず X のコンパクト集合 K と Y の開集合 U に対して T(K, U) (>>423)が
Ψ の開集合であることを示す。
f ∈ T(K, U) をとる。f(K) は準コンパクトで f(K) ⊂ U だから
過去スレ009の162より、V(f(K)) ∩ V(X - U) = φ となる Y の近縁 V が
存在する。V(f(K)) ⊂ U である。
W(f) を、すべての x ∈ K に対して (g(x), f(x)) ∈ V となる g ∈ C(X, Y)
全体とする。W(f) は Ψ における f の近傍である。
g ∈ W(f) なら g(K) ⊂ V(f(K)) ⊂ U だから g ∈ T(K, U) である。
よって、W ⊂ T(K, U) となり、T(K, U) は Ψ の開集合である。
よって、Φ ⊂ Ψ である。

(続く)