補題
X をコンパクトな位相空間、Y を一様空間とする。
f を X から Y への連続写像とする。
V を Y の任意の近縁とする。

このとき X の有限個のコンパクト集合 K_1, ..., K_n があり、
各 i に対して f(K_i) は V 程度に小さい(過去スレ006の235)。

証明
W を W^2 ⊂ V となる対称近縁(過去スレ006の202)とする。
X の任意の点 x に対して x の近傍 V_x があり、f(V_x) ⊂ W(f(x)) となる。
X は正則(過去スレ006の406)であるから V_x は閉近傍と仮定してよい。
X はコンパクトだから V_x はコンパクトである。
W(f(x)) は W^2 程度に小さいから V 程度に小さい。

X はコンパクトだから X の有限個の点 x_1, ..., x_n があり、
V_(x_1), ..., V_(x_n) は X の被覆である。
よって、K_i = V_(x_i), i = 1, 2, ..., n とおけばよい。
証明終