補題
X, Y, Z を位相空間とする。
f: X × Y → Z を連続写像とする。
f と x ∈ X に対して写像 f_x : Y → Z を f_x(y) = f(x, y) で定義する。
f_x は連続である。
x に f_x を対応させる写像を φ と書く。
即ち、φ(x)(y) = f(x, y) である。

φ は X から C(Y, Z) への写像であるが、
C(Y, Z) にコンパクト収束の位相(>>423)を入れたとき連続である。

証明
Y のコンパクト集合 K と Z の開集合 U に対して T(K, U) の φ による
逆像 H が開集合であることを示せばよい。
a を H の任意の点とする。
y ∈ K のとき f(a, y) ⊂ U である。
f は連続だから a の近傍 V_y と y の近傍 W_y で
f(V_y × W_y) ⊂ U となるものがある。
K はコンパクトだから K の有限個の点 y_1, ..., y_n があり、
W_(y_i), 1 ≦ i ≦ n が K の被覆となる。
V を V_(y_i), 1 ≦ i ≦ n の共通部分とする。
x ∈ V, y ∈ K のとき、y ∈ K_i となる i があるから
f(x, y) ∈ U である。
これは、V ⊂ H を意味する。V は a の近傍だから H は開集合である。
証明終