命題
G を局所コンパクト空間 X に左から連続作用する位相群とする。
θ ≠ 0 を X 上の複素Radon測度で G の作用で相対不変(>>411)とする。
θ の乗因子(>>412) χ は G から C^* への群としての準同型である。
ここで、C ^* は複素数体の乗法群である。

証明
任意の s ∈ G と t ∈ G に対して、
γ(st)θ = γ(s)(γ(t)θ) である。

χの定義から、
γ(st)θ = (1/χ(st))θ
γ(s)(γ(t)θ) = γ(s)((1/χ(t))θ) = (1/χ(t))(1/χ(s))θ

よって、χ(st) = χ(s)χ(t)
証明終