命題
G を局所コンパクト群とする。
μ を G 上の左 Haar 測度(>>351)とする。
G の任意の空でない開集合 U に対して μ(U) ≠ 0 である。

証明
空でない開集合 U で μ(U) = 0 となるものがあるとする。
x ∈ U をとる。μ(x^(-1)U) = μ(U) = 0 である。
よって、U は G の単位元を含むと仮定してよい。

K を G の任意のコンパクト集合とする。
K は xU の形の有限個の開集合の合併に含まれるから、μ(K) = 0 である。

任意の f ∈ K+(G, R) に対して K = Supp(f) とし、M = sup {f(x) ; x ∈ G}
とすると、0 ≦ ∫ f dμ ≦ Mμ(K) = 0 である。
よって、μ = 0 となり矛盾である。
証明終