補題
G を局所コンパクト群とする。
λ を G の左不変な容量(>>376)とする。
λ から誘導された測度(過去スレ008の51)を μ とする。
Φ を μ可測な集合全体とする。
Ψ = { A ∈ Φ | μ(A) ＜ +∞ } とおく。
ψ を R = (-∞, +∞) に値をとる Ψ 上の単関数(過去スレ007の371)とする。

G の任意の元 s に対して s^(-1)ψ も Ψ 上の単関数で、
∫ ψ dμ = ∫ s^(-1)ψ dμ である。

証明
ψ = Σ(a_i)χ_(M_i) と書ける。
ここで、a_i は有限実数であり、、M_i ∈ Φ で
Σ(a_i)χ_(M_i) は有限和である。

>>293より、G の任意の部分集合 M に対して
s^(-1)χ_M = χ_s^(-1)M であるから
>>377より、補題の主張は明らかである。
証明終