命題
G を局所コンパクト群とする。
λ を G の左不変な容量(>>376)とする。
λ から誘導された測度(過去スレ008の51)を μ とする。

E がμ可測であれば、G の任意の元 x に対して xE もμ可測で、
μ(xE) = μ(E) である。

証明
λ から誘導された外測度(過去スレ008の17)を μ^* とする。

過去スレ007の768より、G の任意の部分集合 A に対して
μ^*(A) = μ^*(A ∩ E) + μ^*(A ∩ (G - E)) である。

A ∩ xE = x^(-1)A ∩ E
A ∩ (G - xE) = x^(-1)A ∩ (G - E)
であるから、G の任意の元 x に対して、
μ^*(x^(-1)A) = μ^*(x^(-1)A ∩ E) + μ^*(x^(-1)A ∩ (G - E))
= μ^*(A ∩ xE) + μ^*(A ∩ (G - xE))

一方、>>375より、μ^*(x^(-1)A) = μ^*(A) である。
よって xE はμ可測である。

μ(xE) = μ(E) は、>>375より明らかである。
証明終