命題
G を局所コンパクト群とする。
λ を G の容量(過去スレ007の723)で X の任意のコンパクト集合 K
と任意の x ∈ G に対して λ(xK) = λ(K) となるものとする。
λ から誘導された外測度(過去スレ008の17)を μ^* とする。

このとき、G の任意の部分集合 A と任意の x ∈ G に対して
μ^*(xA) = μ^*(A) である。

証明
x を G の任意の元とする。

G の任意の開集合 U に対して、
μ^*(xU) = sup {λ(K) | K はコンパクトで K ⊂ xU }
= sup {λ(K) | K はコンパクトで x^(-1)K ⊂ U }
= sup {λ(xL) | L はコンパクトで L ⊂ U }
= sup {λ(L) | L はコンパクトで L ⊂ U }
= μ^*(U)

G の任意の部分集合 A に対して
μ^*(xA) = inf {μ^*(U) | xA ⊂ U, U は開集合}
= inf {μ^*(U) | A ⊂ x^(-1)U, U は開集合}
= inf {μ^*(xV) | A ⊂ V, V は開集合}
= inf {μ^*(V) | A ⊂ V, V は開集合}
= μ^*(A)
証明終