命題
X を局所コンパクト空間とする。
X 上の実Radon測度(過去スレ009の728)全体の空間を M(X, R) とする。
μ を X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)とする。
基底μの正値Radon測度(>>30)の集合 Ψ が M(X, R) において上限 ν を持てば
ν は基底μの正値Radon測度である。

証明
>>29より、Ψ に属す有限個の正値Radon測度の上限は
基底μの正値Radon測度である。
よって、Ψ は上向きの有向集合と仮定してよい。
過去スレ011の86より、任意の局所μ零集合 N に対して、

∫^e χ_N dν = sup {∫^e χ_N dλ; λ ∈ Ψ } = 0

よって、N は局所ν零集合である。
よって、Lebesgue-Radon-Nikodymの定理(過去スレ011の734)より、
ν は基底μの正値Radon測度である。
証明終