命題
X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の正値Radon測度とする。
Y を X の局所コンパクトな部分空間とする。
g を X 上で定義された局所μ可積分な複素数値関数とする。

このとき、g|Y は局所(μ|Y)可積分であり、
(gμ)|Y = (g|Y)(μ|Y) である。

証明
任意の f ∈ K(Y, C) に対して、Y において f に一致し、X - Y で 0 となる
関数を f' とする。
K = Supp(f) とおく。
f' はμ可積分であり、X - K で 0 であるから f'g はμ可積分である。
よって、>>250より、(fg)|Y は本質的に(μ|Y)可積分であり、
∫ (fg|Y) d(μ|Y) = ∫[Y] fg dμ である。

K はコンパクトだから、過去スレ008の232より、
ν(K ∩ Y) = μ(K ∩ Y) ＜ +∞ である。
(fg|Y) は、Y - K ∩ Y で 0 であるから、(fg|Y) は、(μ|Y) に関して
σ有限である。
よって、(fg|Y) は(μ|Y)可積分である。
よって、上記の等式 ∫ (fg|Y) d(μ|Y) = ∫[Y] fg dμ の両辺は
可積分関数の積分である。
よって、(gμ)|Y = (g|Y)(μ|Y) である。
証明終