補題
E を Riesz 空間(過去スレ009の802)とする。
E の任意の２元 x, y に対して
sup(x, y) = (x + y + |x - y|)/2

証明
z = sup(z, 0) - sup(-z, 0)
|z| = sup(z, 0) + sup(-z, 0)

よって、z + |z| = 2sup(z, 0)
よって、sup(z, 0) = (z + |z|)/2

z に y - x を代入して、
sup(y - x, 0) = (y - x + |x - y|)/2

よって、
sup(x, y) = x + sup(y - x, 0) = x + (y - x + |x - y|)/2
= (x + y + |x - y|)/2
証明終