命題
X を局所コンパクト空間とする。
X 上の実Radon測度(過去スレ009の728)全体の空間 M(X, R) は
完備 Riesz 空間(>>7)である。

証明
過去スレ010の4より M(X, R) は Riesz 空間(過去スレ009の802)である。

A を M(X, R) の空でない部分集合で上に有界とする。
A の有限個の元の上限全体の集合を B とする。
B は上に有向である。

b を B の任意の元とする。
B(b) = { x ∈ B; x ≧ b } とおく。
B(b) - b は元 ≧ 0 からなる上に有向な集合で上に有界である。
よって、>>18 より c = sup (B(b) - b) が存在する。
sup B(b) = b + c である。
これは B の上限と一致し、A の上限でもある。
証明終