命題
X と Y をそれぞれ局所コンパクト空間とし、μを X 上の正値Radon測度とする。
写像 π: X → Y と写像 ψ: X → [0, +∞) がμ適合(>>157)であるとする。
ν を μ適合な対 (π, ψ) から定まる正値Radon測度(>>158)とする。
F を実数体または複素数体上のBanach空間とする。
f を X 上で定義され、F または [-∞, +∞] に値をとる関数でν-可積分とする。

このとき、f(π(x))ψ(x) は本質的にμ可積分であり、
∫ f(y) dν(y) = ∫ f(π(x))ψ(x) dμ(x) である。

証明
Y から実数体 R への連続写像でコンパクトな台(過去スレ007の671)を持つもの
全体を K(Y, R) とする(過去スレ009の21)。
K(Y, R) の有限個の元 ψ_1, ..., ψ_n と F の有限個の元 c_1, ..., c_n の
一次結合 c_1ψ_1 + ... + c_nψ_n 全体を K[F] とする。

>>208と過去スレ011の608より任意の h ∈ K[F] に対して
∫ h(y) dν(y) = ∫ h(π(x))ψ(x) dμ(x) である。

過去スレ011の586より、K[F] の元の列 (f_n), n = 1, 2, ... で次の条件を
満たすものが存在する。

1) lim ∫ |f - f_n| dν = 0

2) 列 (f_n) は ν-a.e.に f に収束する

3) g = |f_1| + Σ|f_(n+1) - f_n| とおくと、∫ g dν ＜ +∞

(続く)