命題
X と Y をそれぞれ局所コンパクト空間とし、μを X 上の正値Radon測度とする。
写像 π: X → Y と写像 ψ: X → [0, +∞) がμ適合(>>157)であるとする。
ν を μ適合な対 (π, ψ) から定まる正値Radon測度(>>158)とする。
S = {x ∈ X; ψ(x) ＞ 0} とおく。

Y の部分集合 N が局所ν零集合であるためには、
π^(-1)(N) ∩ S が局所μ零集合であることが必要十分である。

証明
>>200より、
∫^e χ_N(y) dν(y) = ∫^e χ_N(π(x))ψ(x) dμ(x) である。

x ∈ π^(-1)(N) ∩ S のとき、χ_N(π(x))ψ(x) = ψ(x) ＞ 0
x ∈ X - (π^(-1)(N) ∩ S) のとき、χ_N(π(x))ψ(x) = 0
である。

N が局所ν零集合であれば、∫^e χ_N(y) dν(y) = 0 である。
よって、∫^e χ_N(π(x))ψ(x) dμ(x) = 0 となる。
よって、上記から χ_N(π(x))ψ(x) は局所μ^-a.e. に 0 である。
よって、π^(-1)(N) ∩ S は、局所μ零集合である。

逆に、π^(-1)(N) ∩ S が局所μ零集合であれば、
上記から χ_N(π(x))ψ(x) は局所μ^-a.e. に 0 となり、
∫^e χ_N(π(x))ψ(x) dμ(x) = 0 となる。
よって、∫^e χ_N(y) dν(y) = 0 となり、N は局所ν零集合である。
証明終