補題
X と Y をそれぞれ局所コンパクト空間とし、μを X 上の正値Radon測度とする。
写像 π: X → Y と写像 ψ: X → [0, +∞) がμ適合(>>157)であるとする。
さらに π と ψ は K = Supp(μ) において連続であるとする。
ν を μ適合な対 (π, ψ) から定まる正値Radon測度(>>158)とする。
f : Y → [0, +∞] を任意の関数とする。

このとき、
∫^e f(y) dν(y) = ∫^e f(π(x))ψ(x) dμ(x) である。

証明
>>164より、
∫^* 1 dν(y) = ∫^* 1 dμ(x) ＜ +∞ である。
よって、ν および μ は有界である。
よって、>>184より、∫^* f(y) dν(y) ≦ ∫^* f(π(x))ψ(x) dμ(x) を示せばよい。

∫^* f(π(x))ψ(x) dμ(x) の定義から、X 上で下半連続で (fπ)ψ ≦ h となる
任意の関数 h に対して、∫^* f(y) dν(y) ≦ ∫^* h(x) dμ(x) を示せばよい。

x ∈ π^(-1)(y) ∩ K のとき、h(x)/ψ(x) ≧ f(π(x)) = f(y) である。
ここで、h/ψ は X 上で下半連続であることに注意する。
g(y) = inf {h(x)/ψ(x) ; x ∈ π^(-1)(y) ∩ K } と定義すれば、
f(y) ≦ g(y) であり、過去スレ011の788を π の K への制限に適用すれば、
g は下半連続である。
x ∈ K のとき、g(π(x))ψ(x) ≦ h(x) である。

>>178より
∫^* f(y) dν(y) ≦ ∫^* g(y) dν(y) = ∫^* g(π(x))ψ(x) dμ(x)
≦ ∫^* h(x) dμ(x)
証明終