命題
X を局所コンパクト空間とする。
I を上向きの有向集合(過去スレ008の140)とし、
(μ_i), i ∈ I を X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)の族で
i ≦ j のとき μ_i ≦ μ_j とする。
さらに X 上の正値Radon測度 ν があり、
全ての i に対して μ_i ≦ ν とする。
このとき、sup {μ_i ; i ∈ I} が存在する。

証明
任意の f ∈ K(X, R) と任意の i に対して
μ_i(f) ≦ ν(f) であるから sup {μ_i(f) ; i ∈ I} が存在する。
これを μ(f) と書く。

μ(f) = lim {μ_i(f) ; i ∈ I} であるから
K(X, R) の任意の２元 f, g に対して
μ(f + g) = μ(f) + μ(g) である。
過去スレ009の826より、μ は正値Radon測度である。
μ = sup {μ_i ; i ∈ I} であることは明らかである。
証明終