命題
X と Y を局所コンパクト空間とする。
μ を X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)とする。
写像 π: X → Y と写像 ψ: X → [0, +∞) がμ適合(>>157)であるとする。
ν を μ適合な対 (π, ψ) から定まる正値Radon測度(>>158)とする。
このとき、任意の下半連続関数 f: X → [0, +∞] に対して、
(fπ)ψ はμ可測であり、
∫^e f(y) dν = ∫^e f(π(x))ψ(x) dμ となる。

証明
Φ = { K ; K は X のコンパクト集合でπおよびψの K への制限は連続 } とおく。
過去スレ011の122より、Φ はμ密である。
過去スレ011の90より、X 上の正値Radon測度の総和可能族 (μ_i), i ∈ I が
存在し、μ = Σμ_i となる。
ここで、(Supp(μ_i)), i ∈ I は互いに交わらない Φ の元からなる
局所可算な族である。

各 i に対して ν_i を(μ_i)適合な対 (π, ψ) から定まる正値Radon測度(>>158)
とする。
任意の g ∈ K+(Y, R) に対して
∫ g dν = ∫ (gπ)ψ dμ = Σ ∫ (gπ)ψ dμ_i = Σ ∫ g dν_i
よって、ν = Σν_i となる。
よって、過去スレ011の88より、∫^e f dν = Σ∫^e f dν_i である。
>>164より、(fπ)ψ は各 i に対して (μ_i)-可測であり、
∫^* f dν_i = ∫^* (fπ)ψ dμ_i となる。
特に、f が定値写像 1 のとき、∫^* 1 dν_i = ∫^* ψ dμ_i ＜ +∞
即ち ν_i は有界である。
よって、上の等式は ∫^e f dν_i = ∫^e (fπ)ψ dμ_i となる。
よって、∫^e f dν = Σ∫^e (fπ)ψ dμ_i
過去スレ011の88より、この右辺は ∫^e (fπ)ψ dμ である。
過去スレ011の95より、(fπ)ψ はμ-可測である。
証明終