命題
E を完備 Riesz 空間(>>7)とする。
A を E の元からなる空でない部分集合とする。
A で生成される帯(>>12)を B とする。
A の有限個の元 x_1, ..., x_n があり、
0 ≦ x ≦ |x_1| + ... + |x_n| となるような E の元 x 全体を M とする。
M の部分集合で上に有界であるものの上限全体を N とする。
N は B の元 ≧ 0 全体と一致する。

証明
M は >>14の条件 1), 2) を満たす。
E の帯は完備 Riesz 空間であるから、
A の任意の元 x に対して |x| = sup(x, 0) + sup(-x, 0) ∈ B である。
よって、 M ⊂ B である。
よって、N ⊂ B である。
A の全ての元と無縁な元全体を C とすれば、>>10 と >>13 より、
E = B + C (直和) である。
b ≧ 0 を B の任意の元 とする。
>>14 より、b = y + z, y ∈ N, z ∈ C と書ける。
N ⊂ B だから b - y ∈ B である。
一方、z = b - y ∈ C だから z ∈ B ∩ C = {0} である。
よって、b = y ∈ N となる。
よって、N は B の元 ≧ 0 全体と一致する。
証明終