命題
E を完備 Riesz 空間(>>7)とする。
A を E の元 ≧ 0 からなる空でない部分集合で、
次の条件を満たすとする。

1) A + A ⊂ A
2) x ∈ A, 0 ≦ y ≦x なら y ∈ A

A の部分集合で E で上に有界なものの上限全体を M とする。
M の全ての元と無縁な元 ≧ 0 全体を N とする。

このとき A の任意の元 x は x = y + z, y ∈ M, z ∈ N と書ける。

証明
y = sup { t ∈ A; t ≦ x } とおく。
y ∈ M である。
z = x - y とおく。z ≧ 0 である。
任意の t ∈ A に対して u = inf(z, t) が 0 となることを示す。

u ≦ x - y だから u + y ≦ x
s ∈ A; x ≧ s のとき s ≦ y である。
よって、u + s ≦ u + y ≦ x
u ≦ t だから条件 2) より u ∈ A である。
よって、条件 1) より u + s ∈ A
よって、u + s ≦ y である。
左辺の s を動かして sup をとれば u + y ≦ y
よって u ≦ 0、即ち u = 0 である。
よって、z ∈ N である。
証明終