命題
E を完備 Riesz 空間(>>7)とする。
A を E の空でない部分集合とする。
A の全ての元と無縁な元全体 B は E の帯である。
B の全ての元と無縁な元全体 C も E の帯である。
このとき、 E = B + C (直和)である。

証明
B と C が E の帯であることは、>>9より明らかである。
x ≧ 0 を E の任意の元とする。
B+ = {t ∈ B; t ≧ 0} とおく。
C+ = {s ∈ C; s ≧ 0} とおく。
y = sup {t ∈ B+; x ≧ t} とおく。
B は帯だから y ∈ B+ である。
z = x - y とおく。z ≧ 0 である。
任意の t ∈ B+ に対して u = inf(z, t) が 0 となることを示す。

u ≦ x - y だから u + y ≦ x
s ∈ B+; x ≧ s のとき s ≦ y である。
よって、u + s ≦ u + y ≦ x
u ≦ t だから u ∈ B+ である。
よって、u + s ∈ B+
よって、u + s ≦ y である。
左辺の s を動かして sup をとれば u + y ≦ y
よって u ≦ 0、即ち u = 0 である。
よって、z ∈ C+ である。

E の任意の元は二つの元 ≧ 0 の差として表されるから
E = B + C となる。
B ∩ C = {0} は明らかである。
証明終