>>576

一点Fから 120ﾟをなす3方向にx,y,zだけ離れた点を A,B,Cとする。（Fは△ABCのフェルマー点）
　a = √(y^2 +yz+z^2), b = √(z^2 +zx+x^2), c = √(x^2 +xy+y^2),

　(左辺) = p(y^2 +yz+z^2) + q(z^2 +zx+x^2) + r(x^2 +xy+y^2) = pa^2 + qb^2 + rc^2 = P + Q + R,

　(右辺) = (√3)(xy+yz+zx) = 4･△ABC = 2ab･sin(C) = 2bc･sin(A) = 2ca･sin(B),

　(左辺)^2 - (pq+qr+rp)(右辺)^2 = (P+Q+R)^2 - pq{2ab･sin(C)}^2 - qr{2bc･sin(A)}^2 - rp{2ca･sin(B)}^2
　　　　= P^2 + Q^2 + R^2 + 2PQcos(2C) + 2QRcos(2A) + 2RPcos(2B),

これが常に非負である条件は、 >>511, >>531-532 より
　|cos(2A)| ≦ 1,　|cos(2B)| ≦ 1,　|cos(2C)| ≦ 1,
　1 -cos(2A)^2 -cos(2B)^2 -cos(2C)^2 -2cos(2A)cos(2B)cos(2C)
　= 4sin(A+B+C)sin(-A+B+C)sin(A-B+C)sin(A+B-C) = 0　　(← A+B+C=π)
により満たされている。
∴　(左辺)^2 - (pq+qr+rp)(右辺)^2 ≧ 0,

ぬるぽ