>>504-505 さんの解答をほとんど同じですが，より平易に書いて見ました．
文字は>>504-505 さんのものを使用します．

x，a∈[0，1]，a を固定し x≠a とする．

{f(x)－f(a)}/(x－a)＝f’(c) となる c が x と a の間に存在
|f’(c)|≦( |f(x)|＋|f(a)| )/|x－a|≦2A/|x－a|．．．①

f’(c)－f’(a)＝∫[a，c]f”(t)dt より
|f’(a)|≦|f’(c)|＋|∫[a，c]f”(t)dt|≦|f’(c)|＋|c－a| B≦|f’(c)|＋B|x－a| ．．．②

①，② より |f’(a)|≦2A/|x－a|＋B|x－a| ．．．③

( i ) 0≦a≦1/2 のとき
x＝a＋(1/2)√{A/(A＋B)} とおくと 0≦x≦1 で ③ より
|f’(a)|≦4)√{A(A＋B)}＋(1/2)B√{A/(A＋B)} ≦(4＋1/2)√{A(A＋B)}
( ii ) 1/2≦a≦1 のとき
( i ) とまったく同様