不等式への招待 第４章
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0001１３２人目の素数さん
2009/06/15(月) 19:00:00＿＿＿ ----- 参考文献〔３〕 P.65 -----
|┃三 .／ ≧ ＼
|┃ |:::: ＼ .／ |
|┃ ≡|::::: (● (● | 不等式と聞ゐちゃぁ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ 黙っちゃゐられねゑ…
|┃=＿＿ ＼ ﾊｧﾊｧ
|┃ ≡ ） 人 ＼ ガラッ
過去スレ
・不等式スレッド （Part1） http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/
・不等式への招待 第２章 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/
・不等式への招待 第３章 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/
過去スレのミラー置き場：http://cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public/
まとめWiki http://wiki.livedoor.jp/loveinequality/
姉妹サイト（？）
Yahoo! 掲示板 「出題 不等式」 http://messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=l&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=10000
0232１３２人目の素数さん
2009/07/21(火) 08:30:59abc=1
(1+ab)/(a+b)+(1+bc)/(b+c)+(1+ca)/(c+a)≧3
0233１３２人目の素数さん
2009/07/21(火) 22:53:03諦めろ！
0234１３２人目の素数さん
2009/07/22(水) 00:24:18{f(x)-6x+2, 2x-1, 1} が直交系････
0235１３２人目の素数さん
2009/07/22(水) 05:43:21ただし2.71<e<2.72。
0236１３２人目の素数さん
2009/07/22(水) 21:12:15↑a=(a[1],a[2],…a[n])
↑x=(x[1],x[2],…x[n])
0<a[1]≦a[2],…≦a[n]
0≦x[i]
↑a･↑x=K>0
のとき
|↑x|を最大,最小にする↑xは何か
0237１３２人目の素数さん
2009/07/22(水) 21:40:33直交性から
∫{f(x)}^2 dx = ∫{f(x)-6x+2}^2 dx + 9∫(2x-1)^2 dx +∫1^2 dx
≧ 9∫(2x-1)^2 dx +∫1^2 dx,
>>235
与式をＩとおく。
1 + t + (1/2)t^2 < e^t < 1 + t/(1 - t/2),
から
[ x + (1/3)x^3 + (1/10)x^5 ](x=0,1) < Ｉ < [ (√2)log{(√2 +x)/(√2 -x)} - x](x=0,1),
1 + (1/3) + (1/10) < Ｉ < (√2)log{(√2+1)/(√2 -1)} -1,
1.43333････ < Ｉ < 1.49290････
>>236
最小値はコーシーで、 |ｘ↑| ≧ Ｋ/|ａ↑|.
0238235
2009/07/22(水) 22:07:21e^t≧1+t+(t^2/2)+(t^3/6)より
e^(x^2)≧(1+x^2+(x^4/2)+(x^6/6)を使う
∫[0,1]e^(x^2)dx
≧∫[0,1]{(1+x^2+(x^4/2)}dx
=43/30
>1.4
∫[0,1]e^(x^2)dx
=e-∫[0,1]2x^2*e^(x^2)dx
≦e-∫[0,1]2x^2*{(1+x^2+(x^4/2)+(x^6/6)}dx
=e-(1178/945)
<2.72-1.22
=1.5
0239１３２人目の素数さん
2009/07/23(木) 00:45:30鼻高々の金メダリスト達に東大や京大の理系数学の問題を見せて、
数学の本当の恐ろしさというものを思い知らせてやりたいなｗ
俺も立命館の数学科出身だけど、数学を舐めるなと言いたい。
0240１３２人目の素数さん
2009/07/23(木) 01:45:000241１３２人目の素数さん
2009/07/23(木) 01:50:41中学レベルの知識で解ける≠中学生レベルの実力で解ける
確かに数学オリンピックは行列や解析が範囲外だったりするが、
知識があるからって簡単に解ける問題ばかりではない。
それにIMOにでるほどの人たちが高校数学程度の知識に
欠けてるってのは考え難い。
東大京大の問題くらいだったら解いてしまうんじゃないかな。
金メダリストたちがこの先大成するかはわからないが、
素直に応援しようじゃないか。
そんなことより、不等式を崇める作業に戻るんだ
0242１３２人目の素数さん
2009/07/23(木) 01:54:350243241
2009/07/23(木) 01:57:29s=(a+b+c)/2とおく。
三角形の面積を2等分する線分の長さをlとするとき、
l≧√{2(s-a)(s-b)}を示せ。
0245１３２人目の素数さん
2009/07/23(木) 04:41:110246１３２人目の素数さん
2009/07/23(木) 05:30:30cosθ = 12 / 13 のとき
n ﾟ < θ < ( n + 1 ) ﾟ
を満たす整数nを求めよ （早稲田大）
0247１３２人目の素数さん
2009/07/23(木) 09:32:500248１３２人目の素数さん
2009/07/23(木) 16:55:200249１３２人目の素数さん
2009/07/23(木) 22:19:35cosθ = 12/13 より,
cos(4θ) = T_4(cosθ) = 8(cosθ)^4 - 8(cosθ)^2 +1 = -239/(13^4) < 0,
sin(4θ) = U_4(cosθ)sinθ = 1 - 1/(13^4),
4θ -90ﾟ > 0 より
sin(4θ -90ﾟ) < (π/180)(4θ -90ﾟ) < tan(4θ -90ﾟ),
|cos(4θ)| < (π/180)(4θ -90ﾟ) < |cos(4θ)|/sin(4θ),
239/(13^4) < (π/180)(4θ -90ﾟ) < 239/(13^4 - 1),
0.479454ﾟ < 4θ -90ﾟ < 0.479471ﾟ
22.6198635ﾟ < θ < 22.6198678ﾟ
n = 22
なお、 θ = 22.61986494804042617294901087668･･･
>>237 (中) 補足
1 + t + (1/2)t^2 < e^t < 1 + t/(1 - t/2),
左側: 逐次積分で
e^t -1 >0, (t>0)
e^t -t -1 >0,
e^t -(1/2)t^2 -t -1 >0,
右側:
(e^t - 1)/(e^t + 1) = tanh(t/2) < t/2,
を e^t について解く。
0250１３２人目の素数さん
2009/07/23(木) 23:15:31e = Σ [ k = 0 , ∞ ] ( 1 / k ! )
とする
( 1 )
e < 2.721
( 2 )
log ( 1 + x ) ≦ x / √ ( 1 + x )
( 3 )
1.0317 < e ^ ( 1/32 ) < 1.0318
ただし
2.721 ^ ( 1 / 16 ) < 1.064561
とする
0251１３２人目の素数さん
2009/07/24(金) 17:00:010252１３２人目の素数さん
2009/07/24(金) 23:00:310253１３２人目の素数さん
2009/07/24(金) 23:10:16∫[0,1]{f(x)-ax-b}^2dx を展開して，最小になるa,bを平方完成で見つける。
0254１３２人目の素数さん
2009/07/24(金) 23:30:59何について平方完成するんですか？
0255１３２人目の素数さん
2009/07/24(金) 23:43:44(1)
(1/k!) < (1/k!){1 + 1/(k-1) -1/k} = (1/k!){k/(k-1) -1/k} = 1/((k-1)!(k-1)) - 1/((k!)k),
e < Σ[k=0,∞) 1/(k!) < Σ[k=0,4] 1/(k!) + Σ[k=5,∞) 1/((k-1)!(k-1)) - 1/((k!)k)}
= 1 + (1/1!) + (1/2!) + (1/3!) + (1/4!) + 1/(4!*4)
= 2 + 23/32
= 2.71875
(2)
0 ≦ (1 - 1/t)^2 = 1 + 1/(t^2) -2/t,
を t で積分すると
0 ≦ t - 1/t -2log(t), (t≧1)
ここで t = √(1+x) とおく。
0256１３２人目の素数さん
2009/07/25(土) 00:58:20(1) k≧4 のとき
1/k! < (1/4!)(1/5)^(k-4),
e < Σ[k=0,∞) 1/(k!) < Σ[k=0,3] 1/(k!) + (1/4!)Σ[k=4,∞) (1/5)^(k-4)
= 1 + (1/1!) + (1/2!) + (1/3!) + (1/4!)/(1 - 1/5)
= 2 + 23/32
= 2.71875
(2) sinh(z) > z, (z≧0)
に z = (1/2)log(1+x) を代入…
0257１３２人目の素数さん
2009/07/25(土) 02:08:20( 1 + 4 x ^ 2 + x ^ 4 ) log x + ( 3 / 2 ) ( 1 - x ^ 4 ) > 0
0 ≦ x [ k ] ≦ π / 2
Σ [ k = 1 , n ] cos x [ k ] = 1
のとき
Σ [ k = 1 , n ] sin x [ k ] ≧ √ ( n - 1 )
0258１３２人目の素数さん
2009/07/25(土) 04:55:02(上)
f(y) = (1/2)log(y) + (3/2)(1-y^2)/(1+4y+y^2),
とおくと
f '(y) = (y-1)^4/{2y(1+4y+y^2)^2} ≧ 0,
y=x^2 >1 とおく。
(下)
0 ≦ x ≦ π/2 から
cos(x) ≧0, sin(x) ≧0,
cos(x) + sin(x) = √{1 + 2sin(x)cos(x)} ≧ 1,
から
納k=1,n] sin(x[k]) ≧ n-1,
0259１３２人目の素数さん
2009/07/25(土) 06:29:57(x^3+2)/x=(x^3+1+1)/x≧3√(x^3*1*1)/x=3x/x=3
等号はx^3=1のとき成り立つからx=1のとき最小値3
x^3+2=x^3+1+1≧3√(x^3*1*1)=3x⇔(x^3+2)/x≧3
等号はx^3=1のとき成り立つからx=1のとき最小値3
どうしてこの2つは駄目なんでしょうか？
0260１３２人目の素数さん
2009/07/25(土) 07:50:380261１３２人目の素数さん
2009/07/25(土) 16:35:01とりあえず計算してみ
>なぜ一次関数なんですか？
定数じゃムリなので1次関数
>何について平方完成するんですか？
計算すると∫[0,1]{f(x)}^2dx以外に a,b の2次式が出てくる
この2次式を -G(a,b) とでもおくと (わかりやすくマイナスにした)
∫[0,1]{f(x)}^2dx − G(a,b)
これが0以上なので ∫[0,1]{f(x)}^2dx ≧ G(a,b)
>>226成立のためにはG(a,b)≧4であれば十分
試しにG(a,b)の最小値を求めてみるとa=6，b=-2となる
この際に平方完成する．具体的にはまずbについて平方完成→残りをaについて平方完成(逆も可)
0262１３２人目の素数さん
2009/07/25(土) 21:24:26別に間違ってないような・・・
0263１３２人目の素数さん
2009/07/26(日) 00:57:10x>0という条件があるので相加相乗平均の前提条件である非負はクリア
次に等号成立条件も定義域x>0に取れる
第2式の⇔変形もx>0なので問題ない
何も間違っていないと思うぜ
http://tinyurl.com/n2szo6
0264１３２人目の素数さん
2009/07/26(日) 05:03:40n < m のとき , S [ n ] < S [ m ]
0265１３２人目の素数さん
2009/07/26(日) 06:31:2410 ^ 197 < 99 ^ 99 < 10 ^ 198
ただし,対数の値は与えられていない
0266１３２人目の素数さん
2009/07/26(日) 11:57:060267１３２人目の素数さん
2009/07/26(日) 12:42:540268１３２人目の素数さん
2009/07/26(日) 14:46:04受験板とマルチかつ解決済
http://namidame.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1247234765/459-463n
http://namidame.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1247234765/474n
答えて損した
0269１３２人目の素数さん
2009/07/26(日) 14:55:4599^99 < 100^99 = 10^198 は簡単
10log2 = log1024 > 3 より log2 > 0.3
7log3 + log5 = log10935 > 4 より
7log3 > 3 + log2 > 3.3 だから log3 > 0.47
また 4log7 = log2401 > log2400 = 2 + 3log2 + log3 なので
2log99 = log9801 > log9800 = 2 + log2 + 2log7 > 3 + (5/2)log2 + (1/2)log3
よって log99 > 3/2 + (5/4)log2 + (1/4)log3 > 1.9925
ゆえに 99log99 > 197.2575
0271１３２人目の素数さん
2009/07/26(日) 16:25:480272１３２人目の素数さん
2009/07/26(日) 17:33:39(1+ab)/(a+b) + (1+bc)/(b+c) + (1+ca)/(c+a) ≧ 5/2,
等号成立は a = b = φ^2, c = 1/φ^4 etc. のとき {φ=(1+√5)/2=1.618034}
>>264
周の長さを L とおく。
一辺の長さは L/n,
中心から一辺を見る角は 2π/n,
中心と頂点の距離は L/{2n･sin(π/n)},
中心と辺の中点の距離は h = L/{2n･tan(π/n)},
S[n] = h*L/2 = (L^2){4n･tan(π/n)},
ところで tan(x)/x はxについて単調増加。
>>265
log((n-1)/n) = -log(n/(n-1)) = -log(1 + 1/(n-1)) > - 1/(n-1),
(n-1)･log((n-1)/n) > -1,
n = 100 とおくと
99*log(0.99) = -0.99498324949664267717133689829622 > -1
同じく 解いて損した。
0273１３２人目の素数さん
2009/07/26(日) 18:16:10数学板のマナーかの？
0274１３２人目の素数さん
2009/07/26(日) 18:38:5910^197<99^99<10^198⇔1<(1+1/99)^99<10
f(x)=(1+1/x)^x,g(x)=(1+1/x)^(x+1) (x>0)とおく。
(x+1)/xと1に重み付き相加相乗平均を用いて(重みはそれぞれx,a)
f(x)は単調増加
x/(x+1)と1に重みx+1,aで同様に、g(x)は単調減少
1<2=f(1)<f(99)=(1+1/99)^99<(1+1/99)^100=g(99)<g(1)=4<10
損した
0275１３２人目の素数さん
2009/07/26(日) 18:46:130276１３２人目の素数さん
2009/07/26(日) 19:18:450277１３２人目の素数さん
2009/07/26(日) 19:53:51π＾ｅ＜23を示せ。
ただし、ｅ＝2.71828・・・、π＝3.14159・・・とする。
0278１３２人目の素数さん
2009/07/26(日) 21:39:58まとめWikiを見よう。
http://wiki.livedoor.jp/loveinequality/d/%A4%E8%A4%AF%BB%C8%A4%A6%C9%D4%C5%F9%BC%B0
0279１３２人目の素数さん
2009/07/26(日) 23:16:14ありがとうあいしてる
0280１３２人目の素数さん
2009/07/27(月) 04:26:291 + x ≦ f ( x )
f ( x ) f ( y ) ≦ f ( x + y )
このとき x < 0 において
0 < f ( x ) < 1
を満たすことを示せ
0281１３２人目の素数さん
2009/07/27(月) 04:57:16驚きも何も無い
0282１３２人目の素数さん
2009/07/27(月) 10:16:13その条件があれば f(x)=e^x であると決まる。
ゆえに x<0 ⇒ 0<f(x)<1 は成り立つ。
http://blog.livedoor.jp/seven_triton/archives/51502451.html
0283１３２人目の素数さん
2009/07/27(月) 18:36:49示すべき不等式は、
f(23)-f(π)>1
と同値
ただし、
f(x)=ln(lnx)
この時、
f'(x)=1/(xlnx)>0(x>1)
より、
f(23)-f(π)≧1
ここで、
f(23)-f(π)=1
とすると、
e=ln(23-π)>ln19⇔ln(ln19)<1⇔ln19<1
一方、
ln19>lne=1
となるので不適である。
以上より示された。
0284１３２人目の素数さん
2009/07/27(月) 19:04:21ダメダメ
0285「猫」∈社会の屑 ◆ghclfYsc82
2009/07/27(月) 19:25:34頭が下がりまっせ！
0286１３２人目の素数さん
2009/07/27(月) 20:37:41googleでどうやって検索したんですか？
0287１３２人目の素数さん
2009/07/27(月) 23:54:170288１３２人目の素数さん
2009/07/28(火) 14:11:110289１３２人目の素数さん
2009/07/28(火) 20:51:43(1+ab)/(a+b) + (1+bc)/(b+c) + (1+ca)/(c+a) > 2,
(略証)
例によって a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおく。
(左辺) = {1/(a+b) + 1/(b+c) + 1/(c+a)} + {ab/(a+b) + bc/(b+c) + ca/(c+a)}
= (s^2 +t)/(st-u) + (t^2 +su)/(st-u)
= 2 + {(s-t)^2 +t +(s+2)u}/(st-u)
≧ 2,
下限に近付くのは s=t → ∞ のとき。
例えば、(a,b,c) = (a,1,1/a)、 s=t = a + 1 + 1/a, u=1,
0290１３２人目の素数さん
2009/07/28(火) 21:13:34e = 2.7182818････ < 2 + (5/7) + (1/250), より
π^(1/250) = {1 + (π-1)}^(1/250) < 1 + (π-1)/250 < 1 +(2.5)/250 = 1.01,
π = 3.14159･･･ < 22/7 より
π^2 < (22/7)^2 = 484/49 < 4851/490 < 9.9,
∴ π^(2 + 1/250) < 10,
π^(5/7) < (22/7)^(5/7) = (16/7)^(5/7)*(11/8)^(5/7),
ところで
(11/8)^5 = 161051/(8^5) < 5*32764/(8^5) = 5 = 245/(7^2) < 256/(7^2) = (16/7)^2,
∴ π^(5/7) < 16/7,
∴ π^e < 160/7 = 23 - 1/7,
Yahoo!掲示板 数学カテ 数学･算数質問コーナー(制限板)
http://messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=m&board=1835554
0291１３２人目の素数さん
2009/07/28(火) 21:19:13e＾π＞23 を示せ。
ただし、ｅ＝2.71828・・・、π＝3.14159・・・とする。
0292１３２人目の素数さん
2009/07/28(火) 21:26:21それは東大の問題だょ
0293１３２人目の素数さん
2009/07/28(火) 21:29:59(3)e^(1 / 32) = 1.03174341･･･より題意は示された
0294１３２人目の素数さん
2009/07/28(火) 21:53:45n変数k次基本対称式
Sk=Σx1x2...xk
とする。このとき、
(Sk/nCk)^(1/k)≧(S_{k+1}/nC{k+1})^(1/(k+1))
を示せ！
0295１３２人目の素数さん
2009/07/28(火) 22:12:39不等式！
-= ､､∧,,∧ どぞどぞ！
-=≡(｀･ω･) ＜＜
-= ／､_〇＝O≧≧≧
-=(_⌒)ﾆ‖_≦≦≦≦_
-(／し′∂ﾆ∂三∂ﾆ∂
- = ≡ グヮﾗ! ｶﾞﾗ ｶﾞﾗ!!
0296１３２人目の素数さん
2009/07/28(火) 22:55:34ちょっと違う
>1999年東大6番は、e^π>21 だな。
http://cheese.2ch.net/math/kako/972/972279847.html
e^π>2.71828^3.14159=(2.71828^3)*(2.71828^0.14159)
ここで e^x>1+x+(x^2)/2 より
2.71828^0.14159>1+0.14159+(0.14159^2)/2=1.15161386
これと 2.71828^3 = 20.0854964 を合わせて，
e^π>20.0854964*1.15161386=23.130736
ちなみにe^π = 23.1406926
0297１３２人目の素数さん
2009/07/29(水) 02:26:09過去に何度もでてたはず。
S[k]/C[n,k]=p[k]とおく。
補題.(p[k])^2≧p[k+1]p[k-1] (k=1,2,…,n-1)
等号成立はx[1]=x[2]=…=x[n]
証明.nについての帰納法で示す。
(n-1)個の数x[1],x[2],…,x[n-1]のk次基本対称式をS'[k]とおき、
p'[k]=S'[k]/C[n-1,k]とおく。
k=1,2,…,n-2で(p'[k])^2≧p'[k+1]p'[k-1]、
等号成立がx[1]=x[2]=…=x[n-1]であると仮定する。
S[k]=S'[k]+a[n]S'[k-1]であるから、
p[k]={(n-k)p'[k]+kp'[k-1]} (k=1,2,…,n-1)
k=2,3,…,n-2のとき
(p[k])^2-p[k+1]p[k-1]={X(a[n])^2+Y(a[n])+Z}/n^2
ただし、X=k^2(p'[k-1])^2-(k^2-1)p'[k]p'[k-2]≧(p'[k-1])^2
Y=(nk-k^2-n-1)p'[k]p'[k-1]-(n-k-1)(k-1)p'[k+1]p'[k-2]≧-2p'[k]p'[k-1]
Z=(n-r)^2(p'[k])^2-{(n-r)^2-1}p'[k+1]p'[k-1]≧(p'[k]^2)
ここで、(p'[k])^2(p[k-1])^2≧p'[k+1]p'[k-1]p'[k]p'[k-2]より
p'[k]p'[k-1]≧p'[k+1]p'[k-2]となることを用いた。
よって(p[k])^2-p[k+1]p[k-1]≧(p'[k-1]a[n]-p'[k])^2/n^2≧0
左の等号成立はx[1]=x[2]=…=x[n-1]であり、この条件のもとで
右の等号が成立するのはx[1]=x[2]=…=x[n-1]=x[n]のとき
k=1,n-1のときも同様にして証明できるので、題意は示された。
Π[i=1,k](p[k])^2k≧Π[i=1,k](p[k+1]p[k-1])^k,p[0]=1より
(p[k])^(k+1)≧(p[k+1])^k (k=1,2,…,n-1)
よって(p[k])^(1/k)≧(p[k+1])^{1/(k+1)}
0298１３２人目の素数さん
2009/07/29(水) 02:26:29ワロス
0299１３２人目の素数さん
2009/07/29(水) 02:42:51（Ｐ）：これらの整数のどの１つを除いても，残りの2n個の整数は，２つのn個の整数の集まりに分解でき，それらの和が一致する。
このとき， a_1＝a_2＝…＝a_(2n+1) を示せ。
0300１３２人目の素数さん
2009/07/29(水) 02:51:580301１３２人目の素数さん
2009/07/29(水) 03:23:080302１３２人目の素数さん
2009/07/29(水) 04:48:50s [ 1 ] < s [ 2 ] < 2 s [ 1 ]
1 / 15 < 99 !! / 100 !! < 1 / 12
0303１３２人目の素数さん
2009/07/29(水) 12:25:34をテーラー展開、二項展開を使わずに示せるか論じよ
0304１３２人目の素数さん
2009/07/29(水) 12:27:310305１３２人目の素数さん
2009/07/29(水) 13:46:530306１３２人目の素数さん
2009/07/29(水) 16:07:36数日前に別スレで似たような問題があったな
マルチっぽいな
0307１３２人目の素数さん
2009/07/29(水) 21:19:22凸5角形をABCDE、対角線の交点を A',B',C',D',E' とおく。(対角線BD とCE の交点をA' とおく。)
CD < CA' + DA', CE < CD + DE,
循環的に加えると、
s[1] < s[2], s[2] < 2s[1],
>>303
x=0 のとき等号成立だから、xで割り切れる。(因数定理)
(左辺) - (右辺) = {(1+x)^n -1} -nx
= x{(1+x)^(n-1) + (1+x)^(n-2) + ･････ + (1+x)^1 +1 -n} (← 等比級数の和)
= x{(1+x)^(n-1) -1} + x{(1+x)^(n-2) -1} + ････････ + x{(1+x)^1 -1}
> 0,
0308１３２人目の素数さん
2009/07/29(水) 22:15:26a[1],a[2],…,a[n]を、-1以上の数で、かつ、a[k]≧0かa[k]≦0のいずれかが成り立つとする。
このときΠ[k=1,n](1+a[k])≧1+Σ[k=1,n]a[k]
等号成立は、a[k]≠0なるkが高々1個のとき
n=1は自明
(1+a[k])≧0から、Σ[k=1,n]a[k]<-1であれば明らか
以下、Σ[k=1,n]a[k]≧-1とする。
n=2のとき
(1+a[1])(1+a[2])=1+a[1]+a[2]+a[1]a[2]≧1+a[1]+a[2]
等号成立はa[1]=0またはa[2]=0
n=iの場合の成立を仮定して、n=i+1の場合を示す。
Π(k=1,i+1)(1+a[k])≧(1+Σ[k=1,i]a[k])(1+a[i+1])≧(1+Σ[k=1,i+1]a[k])
(∵a[k]≧0のときΣ[k=1,i]a[k]≧0
a[k]≦0のとき0≧Σ[k=1,i]a[k]≧Σ[k=1,i+1]a[k]≧-1)
左の等号成立条件はk=1,2,…,iでa[k]≠0なるkが高々1個であり、
右側の等号成立条件はΣ[k=1,i]a[k]=0またはa[i+1]=0であるから、
(最左辺)=(最右辺)となるのはa[k]≠0なるkが高々1個
(1+x)^n≧1+nxはa[k]=xの特別な場合
0309１３２人目の素数さん
2009/07/30(木) 03:48:58組(a,b,c),(1/a,1/b,1/c)はそれぞれ三角形の三辺をなす
それぞれの三角形の面積ををS,S'とすれば
SS'≦48
0310１３２人目の素数さん
2009/08/01(土) 00:32:00つ [前スレ.863-865,870]
S ≦ ((√3)/4) * abc,
S' ≦ ((√3)/4) /(abc),
を出す。
解1. [前スレ.865]
相乗･相加平均 と 上に凸から
{sin(A)sin(B)sin(C)}^(1/3) ≦ {sin(A)+sin(B)+sin(C)}/3 ≦ sin((A+B+C)/3) = sin(π/3) = (√3)/2,
解2. [前スレ.870]
s=(a+b+c)/2. s-a, s-b, s-c の基本対称式を s,t,u とおく。ヘロン公式から
S = √(su) = {s･(√su)･u}^(1/3) ≦ {(1/√3)st･u}^(1/3) ≦ (√3)/4･(st-u)^(2/3) = (√3)/4･(abc)^(2/3),
0311１３２人目の素数さん
2009/08/01(土) 01:38:26＞(sinx)^n+(cosx)^n
＞の最大値、最小値を求めよ
これって，nが偶数のとき
(sinx)^n≦(sinx)^2
(cosx)^n≦(cosx)^2
より
(sinx)^n+(cosx)^n ≦(sinx)^2+(cosx)^2=1
の考え方使えないかなー
0312310
2009/08/01(土) 07:03:19S ≦ ((√3)/4) * (abc)^(2/3),
S' ≦ ((√3)/4) / (abc)^(2/3),
より
SS' ≦ 3/16,
0313１３２人目の素数さん
2009/08/02(日) 09:23:30中線を AA', BB', CC' とおく。
△ABC の重心をGとおくと、初等幾何により
AG = (2/3)AA', BG = (2/3)BB', CG = (2/3)CC',
ところで
a = BC < BG + CG,
b = CA < CG + AG,
c = AB < AG + BG,
辺々たして
a+b+c < 2(AG+BG+CG) = (4/3)(AA'+BB'+CC').
0314１３２人目の素数さん
2009/08/02(日) 17:54:30これって、SS' < 1/4,でもいいとき、
n=min(a,b,c), d=mid(a,b,c), x=max(a,b,c),
とおく。
S = (1/2)nd･sin(?) ≦ (1/2)nd,
S' = {1/(2xd)}sin(?) ≦ 1/(2xd),
より
SS' ≦ n/(4x) ≦ 1/4,
の考え方使えないかなー
0315１３２人目の素数さん
2009/08/02(日) 22:43:13A,B,C＞0,A+B+C=π
mは自然数
|pqsinmA+qrsinmB+rpsinmC|≦(p^2+q^2+r^2)(√3/2)
0316１３２人目の素数さん
2009/08/03(月) 07:36:25〔類題〕
三角形の辺長をa,b,c 中線の長さを AA', BB', CC' とおくと
1 < (a+b+c)/(AA'+BB'+CC') < 4/3.
(略証)
・右側は >>313
・左側を示す。
B'A' = AC' = C'B = (1/2)AB = c/2,
C'B' = BA' = A'C = (1/2)BC = a/2,
A'C' = CB' = B'A = (1/2)CA = b/2,
より
AA' < AB' + B'A' = (c+b)/2,
BB' < BC' + C'B' = (a+c)/2,
CC' < CA' + A'C' = (b+a)/2,
辺々たすと
AA' + BB' + CC' < a+b+c,
0317１３２人目の素数さん
2009/08/05(水) 03:39:24＊＊＊数学の質問スレ【大学受験板】part89＊＊＊ [大学受験]
0318１３２人目の素数さん
2009/08/05(水) 14:46:11過去スレ
0319１３２人目の素数さん
2009/08/05(水) 20:40:44∫[0,1] F(G(x))dx ≦ ∫[0,1] F(x) dx + ∫[0,1] G(x) dx
を示せ
0320１３２人目の素数さん
2009/08/06(木) 00:39:44値域がって事？
0321１３２人目の素数さん
2009/08/06(木) 07:33:590322１３２人目の素数さん
2009/08/06(木) 10:20:05過去スレ嫁
0323１３２人目の素数さん
2009/08/06(木) 17:54:14実数a,b,cが(a+b+c)/3=(abc)^(1/3)≠0を満たす
k=a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)の取り得る値の範囲を求めよ
0324１３２人目の素数さん
2009/08/06(木) 23:28:40> 実数a,b,cが(a+b+c)/3=(abc)^(1/3)≠0を満たす
> 実数a,b,cが(a+b+c)/3=(abc)^(1/3)≠0を満たす
> 実数a,b,cが(a+b+c)/3=(abc)^(1/3)≠0を満たす
> 実数a,b,cが(a+b+c)/3=(abc)^(1/3)≠0を満たす
> 実数a,b,cが(a+b+c)/3=(abc)^(1/3)≠0を満たす
> 実数a,b,cが(a+b+c)/3=(abc)^(1/3)≠0を満たす
ﾆﾔﾆﾔ…
0325１３２人目の素数さん
2009/08/06(木) 23:40:01なんでにやついているの？
0326１３２人目の素数さん
2009/08/07(金) 00:26:450327１３２人目の素数さん
2009/08/07(金) 03:17:00相加平均=相乗平均
0328１３２人目の素数さん
2009/08/07(金) 03:20:020329１３２人目の素数さん
2009/08/07(金) 03:21:20≠0
0330１３２人目の素数さん
2009/08/07(金) 03:23:20適用条件
0331１３２人目の素数さん
2009/08/07(金) 03:23:54(負)^(1/3) は定義されてない，というかできない．
(-8)^(1/3) = -2 としたいところだが
(-8)^(1/3) = (-8)^(2/6) = ((-8)^2)^(1/6) = 64^(1/6) = 2
と矛盾を起こしかねないから。
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