>>19

π/2 = p とおくと、相乗･相加平均より
　(右辺) < 納k=1,n-1] (2/3k){log(kp) + log((k+1)p)}
　　　　 = 納k=1,n-1] (2/3k){log(k) + log(k+1) + 2log(p)},
　(左辺) = log(n)log(np^2) = log(n){log(n) + 2log(p)} = log(n)^2 + 2log(p)･log(n),
したがって、
　納k=1,n-1] (2/3k){log(k) + log(k+1)} < log(n)^2,　　　 ･････ (I)
　納k=1,n-1] (2/3k) < log(n),　　　　　　　　　　　　　　　･････ (II)
を示せば十分。

(I)
　1/(k+1) < -log(k/(k+1)) = log((k+1)/k) = log(k+1) - log(k),
より
　納k=1,n-1] (2/3k){log(k+1) + log(k)} < (2/3)log(2) + 納k=2,n-1] (1/(k+1)){log(k+1) + log(k)}
　　= (2/3)log(2) + 納k=2,n-1] {log(k+1) - log(k)}{log(k+1) + log(k)}
　　= (2/3)log(2) + 納k=2,n-1] {log(k+1)^2 - log(k)^2}
　　= (2/3)log(2) + log(n)^2 - log(2)^2
　　= log(n)^2 -log(2){log(2) -2/3}
　　< log(n)^2,　　　　　　　　　　　　　{log(2) = 0.693147･･･ >2/3}

(II)
・n=2 のときは 明らか。
・n>2 のとき、(I) と同様に
　納k=1,n-1] (2/3k) = 2/3 + 納k=2,n-1] (2/3k)
　< 2/3 + 納k=2,n-1] {log(k+1)-log(k)}
　= 2/3 + log(n) - log(2)
　< log(n),　　　　　　　　　　　　{log(2) = 0.693147･･･ >2/3}
または、 y=1/x が下に凸だから
　納k=1,n-1] (1/k) < ∫[1/2, n -1/2] 1/x dx = log(2n-1) < (3/2)log(n),